Centres étrangers, mars 2023 (partiel)

On considère la fonction  \(f\) définie sur  \(\mathbb{R}\) par :  \(f(x) =\dfrac{1}{1+\text e^{-3x}}\) .

On note  \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On nomme  \(\text A\) le point de coordonnées  \(\left(0\,; \dfrac{1}{2} \right)\) et  \(B\) le point de coordonnées \(\left(1\,; \dfrac{5}{4} \right)\) .

On a tracé ci-dessous la courbe  \(C_f\) et  \(\mathcal{T}\) la tangente à la courbe  \(C_f\) au point d’abscisse \(0\) .

Partie A - Lectures graphiques

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.

1. Déterminer l’équation réduite de la tangente  \(\mathcal{T}\) .

2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction  \(f\) semble convexe ou concave.

Partie B - Étude de la fonction

1. On admet que la fonction  \(f\) est dérivable sur \(\mathbb {R}\) . Déterminer l’expression de sa fonction dérivée \(f ^\prime\) .

2. Justifier que la fonction  \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb {R}\) .

Partie C - Tangente et convexité

1. Déterminer par le calcul une équation de la tangente  \(\mathcal{T}\) à la courbe  \(C_f\) au point d’abscisse \(0\) . 

On admet que la fonction  \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb {R}\) . On note  \(f ^{\prime\prime}\)  la fonction dérivée seconde de la fonction \(f\) . 
On admet que  \(f ^{\prime\prime}\) est définie sur  \(\mathbb {R}\) par :  \(f ^{\prime\prime}(x)=\dfrac{9e^{-3x} (e^{-3x}-1)}{(1+e^{-3x})^3}\) .

2. Étudier le signe de la fonction  \(f ^{\prime\prime}\)  sur \(\mathbb {R}\) .

3. a. Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction  \(f\) est convexe.
    b. Que représente le point  \(\text A\) pour la courbe  \(C_f\) ?
    c. En déduire la position relative de la tangente  \(\mathcal{T}\) et de la courbe \(C_f\) . Justifier la réponse.